Notations

• \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont des espaces probabilisables.

• Si \(\mathcal{X}\) est un espace probabilisable, on note \(\mathrm{P}(\mathcal{X})\) l’ensemble des mesures de probabilité sur \(\mathcal{X}\).

• \(\mathrm{P}_f(\mathcal{X})=\left\{\sum_{x\in\mathcal{F}} \pi_x\,\delta_x, \mathcal{F}\subset\mathcal{X}\text{ fini }, (\pi_x)_{x\in\mathcal{F}}\in\mathbb{R}_+^{\left|\mathcal{F}\right|}, \sum_{x\in\mathcal{F}} \pi_x = 1 \right\}\)
  est l’ensemble des mesures de probabilité à support fini sur \(\mathcal{X}\).

• \(\mu\in\mathrm{P}(\mathcal{X})\) et \(\nu\in\mathrm{P}(\mathcal{Y})\) sont des mesures de probabilité.

• \(\mathit{\Pi}(\mu,\nu)\) est l’ensemble des mesures de probabilités sur \(\mathcal{X}\times\mathcal{Y}\) dont les lois marginales respectives sont \(\mu\) et \(\nu\), i.e. des couplages entre \(\mu\) et \(\nu\).

• \(c:\mathcal{X}\times\mathcal{Y}\rightarrow\mathbb{R}_+\) est une fonction mesurable appelée fonction de coût.

Remarque. Dans ce mémoire, on supposera toujours que \(\mu\) et \(\nu\) sont des mesures à support fini (en particulier discrètes). Cependant, le problème du transport optimal existant entre deux mesures quelconques, il est intéressant de garder un formalisme aussi général que possible.